摘要:以計(jì)算流體力學(xué)為工具, 詳細(xì)分析計(jì)算了流體流過孔板的層流流場(chǎng)分布以及壓力降。 計(jì)算了 β=d D =0 .5時(shí)的流出系數(shù), 并根據(jù)計(jì)算結(jié)果擬合出流出系數(shù)與 Re 的關(guān)系式。 在以往孔板的層流流場(chǎng)模擬中, 雷諾數(shù)不超過 150, 而作者所編的計(jì)算程序能夠計(jì)算雷諾數(shù)從 0 ～ 500 之間所有孔板流場(chǎng), 從而為實(shí)際應(yīng)用奠定了良好的基礎(chǔ)。
1、引言：
孔板被廣泛地應(yīng)用在天然氣、化工裝置的流量測(cè)量等場(chǎng)所,其優(yōu)點(diǎn)是幾何形狀簡單、耐用、數(shù)據(jù)可靠。在孔板計(jì)量中 ,流出系數(shù)是孔板計(jì)量準(zhǔn)確程度的主要參數(shù)。而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和流體力學(xué)的發(fā)展,人們可以通過數(shù)值模擬來獲得流出系數(shù)。通過孔板流場(chǎng)的數(shù)值模擬, 能夠獲得流體流經(jīng)孔板的全部信息。在實(shí)際過程中, 例如向壓縮機(jī)添加沖洗油、冷卻水、各種阻聚劑等 , 其流量都比較小, 屬于低流量范圍,即層流 ,且都用孔板控制流量。如何根據(jù)孔板壓力差計(jì)算出流量, 就成為現(xiàn)場(chǎng)流量控制和調(diào)查
事故原因的主要依據(jù) , 也為優(yōu)化控制提供數(shù)據(jù)和理論基礎(chǔ)。而實(shí)際工作中 ,缺乏流出系數(shù)和相關(guān)參數(shù)。本文正是在這一背景下 , 進(jìn)行低雷諾數(shù)的孔板流場(chǎng)數(shù)值模擬 ,即層流模擬。模擬程序?qū)?shí)際應(yīng)用有著重要的意義。
2、數(shù)學(xué)模型：
根據(jù)孔板的幾何形狀及參數(shù) , 將管路及孔板簡化為如圖1 所示的幾何形狀。
2.1、基本方程：
根據(jù)圖 1 幾何形狀 ,流場(chǎng)計(jì)算將在軸對(duì)稱、圓柱坐標(biāo)系下進(jìn)行。假設(shè)流體為不可壓縮、等溫。不可
圖 1 孔板及管路簡圖
壓縮二維軸對(duì)稱穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的基本方程如下:
壓縮二維軸對(duì)稱穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的基本方程
2.2、不可壓縮流體軸對(duì)稱流動(dòng)方程的無量綱化：
假設(shè):X =Dx , R =Dr , P =ρup2 , U =uum , V =uvm ,mRe =ρum D μ,其中 um 為入口平均速度。將上述參
數(shù)代入式(1)、(2)、(3),并簡化得:
2.3 、定解條件 ：
考慮到區(qū)域的對(duì)稱性, 故取實(shí)際區(qū)域的一半作為計(jì)算區(qū)域。邊界條件包括進(jìn)口、出口、軸對(duì)稱邊界及壁面四部分。
(1)進(jìn)口邊界
假設(shè)進(jìn)口速度分布為拋物線分布, 即:
(2)出口邊界
假設(shè)計(jì)算出口邊界條件為充分發(fā)展流動(dòng) ,即:
U X =0 ; V =0
| (3)軸對(duì)稱邊界 | | | | | | | | | | |
| R =0 : U R =0 ; V =0 | (9) |
| (4)壁面條件 | | | | | | | | | | | | | | |
| L1 | ,R =0.5 ,0 ≤X ≤X 1 : | |
| a當(dāng) X1 =D | |
| | U =0 , | V =0 | | | | | (10) |
| b當(dāng) X1 =L1 | , | 1 | | d | <R < | 1 | : | | | | | |
| | | | | | | | |
| D | | 2 D | 2 | | | | | | |
| | U =0 , | V =0 | | | | | (11) |
| L1 | +h | | | | | | | 1 d | |
| c當(dāng) X2 = D | , X1 | <X <X 2 , R | = | | | | : |
| 2 | D |
| | U =0 , | V =0 | | | | | (12) |
| d當(dāng) X3 =L1 | +h +L | 2 , X2 ≤X ≤X3 , R =0.5 : |
| | | D | | | | | | | | | | |
| | U =0 , | V =0 | | | | | (13) |
2.4、模型的求解：
本文采用區(qū)域擴(kuò)充法 ,將整個(gè)計(jì)算區(qū)域擴(kuò)充為如圖2 所示。
| 圖 2 | 計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格劃分示意圖 |
陰影部分為擴(kuò)充區(qū)域 , 即孔板位置。在擴(kuò)充區(qū)域 ,設(shè)粘度系數(shù)為無窮大。將整個(gè)計(jì)算區(qū)域劃分為20 ×353 個(gè)非均分網(wǎng)格 。取 L1 =3D , L2 =40D , h =3 D 。采用交錯(cuò)網(wǎng)格的控制容積法進(jìn)行求解 。通過乘方格示對(duì)上述基本方程和邊界條件離散化 ,編程上機(jī)計(jì)算。程序中流場(chǎng)求解采用 SIMPLE 算法。方程組求解采用塊修正及雙向 TDMA 線迭代技術(shù)。
| 3 | 計(jì)算結(jié)果 | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| 3.1 | 流出系數(shù) | | | | | | | | |
| | 不可壓縮流體流經(jīng)孔板的流量公式為 : |
| | |
| | | | | (πd2 4) 2 | | | | | |
| | Q =Cd | | | ρ(p′1 -p′2) (14) |
| | | | | 4 | | |
| | | | | 1 | -(d D) | | | | |
| 上式中, Q 為不可壓縮流體流經(jīng)孔板的流量 , ρ為密 |
| |
| |
| 度 , Cd 為流出系數(shù) , p′1-p′2 為流經(jīng)孔板的壓力差。 |
| |
| 將 Q =πD2 um 4 和 p′1-p′=(2P1 -P2 )ρum2 代入上 |
| 式得: | | | | | | | | |
| | | 1 | | D | 2 | | | 4 | | 1 | |
| | Cd = | | | | | 1 -(d D) | | | (15) |
| | | | | | | | P1 | | |
| | 2 | | d | | | | | | -P2 |
| 式中 ,P 1 、P2 為無量綱壓力。根據(jù)無量綱壓力差 ,由 |
| 上式即可計(jì)算出流出系數(shù)。 | | | |
| | | | |
| | | | |
| 3.2 數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的比較 | | |
| | (1)數(shù)值模擬結(jié)果的驗(yàn)證 | | | |
| | 利用所編制的計(jì)算機(jī)程序分別計(jì)算了文獻(xiàn)[ 1] |
| 所給出的 Re 工況。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[ 1] 的實(shí)驗(yàn)值 |
| 比較見表 1 : | | | | | |
| | 表 1 流出系數(shù) Cd 與 Re 對(duì)應(yīng)表 | | |
| | | | | | | |
| | Re | 2.5 | 5.0 | 10.0 | 25 .0 | |
| | | | | | | |
| | C d 計(jì)算值 | 0.354 3 | 0 .474 9 | 0.586 5 | 0.668 1 | |
| | | 0.341 5 | 0 .462 9 | 0.581 9 | 0.690 0 | |
| | C d 實(shí)驗(yàn)值 | | | | | |
| | | | | | | |
| | 由數(shù)值模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知:本文 |
| 的數(shù)據(jù)模擬方法及數(shù)據(jù)是有效和可靠的。 | | |
(2)低雷諾數(shù)的流場(chǎng)分布及壓力分布
圖 3 Re =200 流線分布圖 圖 4 軸向壓力分布
3.3、流出系數(shù)的計(jì)算結(jié)果與 Re 的關(guān)系式：
流出系數(shù)一般是雷諾數(shù)、直徑比和孔板幾何尺寸的函數(shù)。本文模擬計(jì)算雷諾數(shù)在 2 .5～ 500 范圍內(nèi)的流出系數(shù), 計(jì)算結(jié)果見表 2 :
| | | | 表 2 Cd | 與 Re 關(guān)系 | | | |
| | | | | | | | | | |
| Re | 2.5 | | 5 | | 10 | | 25 | | 60 |
| Cd | 0 .354 | 3 | 0.474 | 9 | 0.586 | 5 | 0.668 | 1 | 0.703 1 |
| | | | | | | | | | |
| Re | 100 | | 200 | | 300 | | 400 | | 500 |
| Cd | 0 .716 | 7 | 0.727 | 4 | 0.734 | 9 | 0.738 | 0 | 0.739 5 |
| | | | | | | | | | |
根據(jù)上述數(shù)據(jù), 采用***小二乘法, 擬合出 :β =d D =0 .5時(shí), Cd 與 Re 的關(guān)系如圖 5 。擬合關(guān)系式為:
圖 5 Cd 與 Re擬合曲線
| 3.4 | 應(yīng)用舉例 | | | | | |
| | | | | 1 000 kg m3 | |
| | 已知 d D 0 | 5 | | | 1 007 |
| | : = ., ρ= | , μ= . × |
| 10-3 Pa s | D | 50 mm | | 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量孔板前后壓差為 |
| | · , | | = | , | | | | |
| 0.06 kPa ,計(jì)算流量 。 | | | | |
| | 根據(jù)式(16)、(15), 假設(shè)量 Q =0 .03 m3 h , |
| 計(jì)算出平均流速 um ,求出 Re , 代入式(16), 計(jì)算出 |
| 流出系數(shù)。將流出系數(shù)代入式(14), 計(jì)算出一新流 |
| 量 Q1 。再將新流量與假設(shè)流量比較, 若 Q1 -Q ≤ |
| 10-3 ,則 Q1 為所求流量 ;否則, 以 Q1 | 為基準(zhǔn), 重新 |
| 假設(shè)流量,重復(fù)上述過程,直到滿足要求為止。本例 |
| ***終計(jì)算結(jié)果為:Q1 =0 .028 4 m3 h 。 | |
4、結(jié)論：
本文解決了低雷諾數(shù)孔板流量計(jì)計(jì)量工作中的實(shí)際問題。雖然 Re 在 25 ～ 500 之間的流出系數(shù)需經(jīng)試驗(yàn)進(jìn)一步確認(rèn), 但數(shù)值模擬為孔板流量計(jì)流出系數(shù)的確定提供了強(qiáng)有力的工具。
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